题目

如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标； （3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由． 答案：解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）的坐标代入函数的表达式得：，解得：b=3，c=4． 所以 抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4．                                4分 （2）如图1所示： ∵令x=0得y=4， ∴OC=4． ∴OC=OB． ∵∠CFP=∠COB=90°， ∴FC=PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似． 设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）（a＞0）． 则CF=a，PF=|﹣a2+3a+4﹣4|=|a2﹣3a|． ∴|a2﹣3a|=a． 解得：a=2，a=4． ∴点P的坐标为（2，6）或（4，0）．                            6分 （3）如图2所示：连接EC． 设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）．则OE=a，PE=﹣a2+3a+4，EB=4﹣a． ∵S四边形PCEB=OB•PE=×4（﹣a2+3a+4），S△CEB=EB•OC=×4×（4﹣a）， ∴S△PBC=S四边形PCEB﹣S△CEB=2（﹣a2+3a+4）﹣2（4﹣a）=﹣2a2+8a． ∵a=﹣2＜0， ∴当a=2时，△PBC的面积S有最大值．                                 3分 ∴P（2，6），△PBC的面积的最大值为8．                 

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