题目

下图表示物体运动的路程随时间变化的函数f(t)=4t-2t2的图象,试根据图象,描述、比较曲线f(t)在t0、t1、t2附近的变化情况,并求出t=2时的切线的方程. 答案：思路分析：f(t)对t的导数即为在该点处的切线的斜率.解：用曲线f(t)在t0、t1、t2处的切线刻画曲线f(t)在t0、t1、t2附近的变化情况.(1)当t=t0时,曲线f(t)在t0处的切线l0平行于x轴.所以在t=t0附近曲线比较平坦,几乎没有升降.(2)当t=t1时,曲线f(t)在t1处的切线l1的斜率f′(t1)＜0,所以在t=t1附近曲线下降,即函数f(t)在t=t1附近单调递减.(3)当t=t2时,曲线f(t)在t2处的切线l2的斜率f′(t2)＜0,所以在t=t2附近曲线下降,即函数f(t)在t=t2附近也单调递减.由图象可以看出,直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度,说明曲线f(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢.(4)当t=2时,f(2)=0.在t=2时的切线的斜率k=f′(2)= (-2Δt-4)=-4.所以切线的方程为y=-4(x-2),即4x+y-8=0.

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