题目

如图，在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB＝9，DF＝2FC，则BC＝　   　．（结果保留根号） 答案：　　． 【分析】先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系，并根据BG＝BC+CG进行计算即可． 解：延长EF和BC，交于点G ∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E， ∴∠ABE＝∠AEB＝45°， ∴AB＝AE＝9， ∴直角三角形ABE中，BE＝＝， 又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F， ∴∠BEG＝∠DEF ∵AD∥BC ∴∠G＝∠DEF ∴∠BEG＝∠G ∴BG＝BE＝ 由∠G＝∠DEF，∠EFD＝∠GFC，可得△EFD∽△GFC ∴ 设CG＝x，DE＝2x，则AD＝9+2x＝BC ∵BG＝BC+CG ∴＝9+2x+x 解得x＝ ∴BC＝9+2（﹣3）＝ 故答案为： 【点评】本题主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似．

查看本题答案和解析