题目

如图，过原点引两条直线与抛物线和（其中为常数，）分别交于四个点. （Ⅰ）求抛物线准线间的距离； （Ⅱ）证明：； （Ⅲ）若，求梯形面积的最小值. 答案：解：（Ⅰ）由已知，抛物线的准线分别为和，      ……………2分 所以，抛物线准线间的距离为.                           ……………4分 （Ⅱ）设，代入抛物线方程，得的横坐标分别是和.  ………5分 ，同理，                 ……………7分 所以， 所以.                                              ……………8分 （Ⅲ）设，，直线方程为， 代入曲线，得， 所以，.                              ……………9分 由，得，又，， 所以，由，得.            ……………11分 所以直线方程为， 同理可求出直线方程为. 所以，                ……………12分 ， 平行线与之间的距离为， 所以梯形的面积，  ……………13分 当时，梯形的面积达最小，最小值为.          ……………14分

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