题目

已知a+b+c＞0,abc＞0,ab+bc+ca＞0.求证:a＞0,b＞0,c＞0. 答案：解析:本题正面证不太易证,可从反面证明.证明:由abc＞0,可知a、b、c都大于零或两个负数、一个正数.若两个负数、一个正数,不妨设a＞0,b＜0,c＜0.则由a+b+c＞0,知a＞-(b+c).又∵b＜0,c＜0,∴b+c＜0.∴-(b+c)＞0.∴a＞-(b+c)＞0.∴a(b+c)＜-(b+c)2.∴bc+a(b+c)＜bc-(b+c)2,即ab+bc+ac＜-b2-bc-c2＜0.这与已知ab+bc+ac＞0相矛盾.∴不可能有两个负数、一个正数,只能都是正数,即a＞0,b＞0,c＞0成立.

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