题目

如图，某机械厂要将长6 m，宽2 m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点， 点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在 直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪． （1）当∠EFP=时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积； （2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由． 答案：【解】（1）当∠EFP=时，由条件得 ∠EFP=∠EFD=∠FEP=． 所以∠FPE=．所以FN⊥BC， 四边形MNPE为矩形．…… 3分 所以四边形MNPE的面积 =2 m2．………… 5分 （2）解法一： 设，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=． 所以，     ，     ．   由得 所以四边形MNPE面积为                   ．       当且仅当，即时取“=”． 此时，成立． 答：当时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大， 最大值为 m2．   解法二： 设 m，，则． 因为∠EFP=∠EFD=∠FEP，所以PE=PF，即． 所以，．   由得 所以四边形MNPE面积为                 当且仅当，即时取“=”．   此时，成立． 答：当点E距B点 m时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大， 最大值为 m2．   

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