题目

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1． （1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积； （2）过点Q作直线l与双曲线C1有且只有一个交点，求直线l的方程； （3）设椭圆C2：4x2+y2=1．若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值． 答案：考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出三角形的面积． （2）过点Q作直线l与双曲线C1有且只有一个交点，直线l与双曲线的渐近线平行，可得结论； （3）当直线ON垂直x轴时，直接求出O到直线MN的距离为．当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），推出直线OM的方程为y=x，利用，求|ON|2=．同理|OM|2=，设O到直线MN的距离为d，通过（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，求出d=．推出O到直线MN的距离是定值． 解答： 解：（1）双曲线C1：2x2﹣y2=1左顶点A（﹣，0）， 渐近线方程为：y=±x． 过A与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=x+1， 所以，解得． 所以所求三角形的面积为S=|OA||y|=； （2）由题意，直线的斜率存在， ∵过点Q作直线l与双曲线C1有且只有一个交点， ∴直线l与双曲线的渐近线平行， ∵渐近线的斜率为±， ∴直线l的方程为y﹣=（x+），即y=x+2+或y=﹣x﹣2+； （3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为． 当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞）， 则直线OM的方程为y=x，由得， 所以|ON|2=． 同理|OM|2=， 设O到直线MN的距离为d， 因为（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2， 所以=+=3， 即d=． 综上，O到直线MN的距离是定值．  

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