题目

已知f（x）=ln（x+1）﹣（a∈R）． （1）求证：a≤1且x≥0时，f（x）≥0恒成立； （2）设正项数列{an}满足a1=1，an=ln（an﹣1+1）（n≥2），求证：≤an≤（n∈N*）． 答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调性，从而证出结论； （2）a=1时，在[0，+∞）内恒成立，在[0，3）内恒成立，由a1=1及an=ln（an﹣1+1）（n≥2）知0＜an≤1，根据数学归纳法证明即可． 【解答】证明：（1）…； 当a≤1，x≥0时，f'（x）≥0恒成立                       …； 此时函数f（x）在（0，+∞）内单调递增                       …； 所以f（x）≥f（0）=0，得证                              …； （2）由（1）可知a=1时，在[0，+∞）内恒成立       …； 同理可证：在[0，3）内恒成立                  …； 由a1=1及an=ln（an﹣1+1）（n≥2）知0＜an≤1… 下面用数学归纳法证明： 当n=1时，，结论成立                    …； 设当n=k时结论成立，即 那么当n=k+1时，… … 即当n=k+1时有，结论成立， 由此可知对任意n∈N*结论都成立，原不等式得证．…

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