题目

如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=．(1)求证：平面PBD⊥平面PAC；(2)求点A到平面PBD的距离；(3)求二面角D-PB-C的大小． 答案：解法一：如图建立空间直角坐标系. (1)平面PAC即xOz平面的一个法向量为n=(0,1,0),设平面PBD的一个法向量为n1=(1,y1,z1)由n1⊥,n1⊥,可得n1=(1,0,-)由n·n1=(0,1,0)·(1,0,-)=0,得n⊥n1,所以平面PBD⊥平面PAC  (2)=(,0,0)，点A到平面PBD的距离d=  (3)平面PBD的法向量n1=(1,0,-)，平面PBC的法向量n2=(1,-,-)∴cos(n1,n2)=,∴二面角D-PB-C的大小为arccos.  解法二：（1）（2）连结PO，过A作AE⊥PO,平面PAC∩平面PBD=PO，∴AE⊥平面PBD，AE就是所求的距离，计算得AE=  （3）过C作CM⊥PO于M，则CM⊥平面PBD，过M作MN⊥PB于N，连CN，由三垂线定得，CN⊥PB，∴∠CNM为二面角C-PB-D的平面角.由（2）知CM=AE=,易知PB=2,PC=4,用面积关系，PB·CN=PC·BCsin∠PCB,在△PCB中，由余弦定理，得cos∠PCB=,∴sin∠PCB=,从而求得CN=sin∠CNM=,故所求的二面角为arcsin.

查看本题答案和解析