题目

如图，已知抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C. (1)求抛物线y的函数表达式及点C的坐标； (2)点M为坐标平面内一点，若MA=MB=MC，求点M的坐标； (3)在抛物线上是否存在点E，使∠ABE=∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由. 答案：详解：（1）把A（-3，0）、B（1，0）代入y=ax2+bx+6得， ，解得 ∴y=-2x2-4x+6, 令x=0，则y=6, ∴C(0，6)； （2）=-2（x+1）2+8, ∴抛物线的对称轴为直线x=-1. 设H为线段AC的中点，故H（，3）. 设直线AC的解析式为：y=kx+m，则有 ，解得，， ∴y=2x+6 设过H点与AC垂直的直线解析式为：，     ∴ ∴b= ∴ ∴当x=-1时，y= ∴M（-1，） （3）①过点A作交y轴于点F，交CB的延长线于点D ∵∠ACO+∠CAO=90°,∠DAO+∠CAO=90° ∴∠DAO=∠ACO ∵∠ACO=∠ACO ∴ΔAOF∽ΔCOA ∴       ∴ ∵OA=3,OC=6 ∴        ∴ 直线AF的解析式为： 直线BC的解析式为： ∴，解得     ∴ ∴ ∴∠ACB= ∵∠ABE=∠ACB ∴∠ABE=2 过点A作轴，连接BM交抛物线于点E ∵AB=4，∠ABE=2 ∴AM=8 ∴M（-3，8） 直线BM的解析式为： ∴，解得 ∴y=6    ∴E（-2，6） ②当点E在x轴下方时，过点E作，连接BE，设点E ∴∠ABE=2 ∴m=-4或m=1（舍去） 可得E（-4，-10）     综上所述E1（-2，6），E2（-4，-10）

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