题目

如图，AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1. （Ⅰ）求证：AC平分∠BAD； （Ⅱ）求BC的长. 答案：（Ⅰ）证明：如图6，连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，……………………………（2分）因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，图6 所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．         …………………………………………………………（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，    ……………………………………（6分）如图5，连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cos∠B=cos∠CED，                     ……………………………………（8分）所以，所以BC=2．                ……………………………………（10分）

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