题目

已知{an}是等比数列,a1=2,a3=18;{bn}是等差数列,b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)求数列{bn}的前n项和Sn的公式;(3)设Pn=b1+b4+b7+…+b3n-2,Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8,其中n=1,2,…,试比较Pn与Qn的大小,并证明你的结论. 答案：剖析:将已知转化成基本量，求出首项和公比后，再进行其他运算.解:(1)设{an}的公比为q,由a3=a1q2得q2==9,q=±3.    当q=-3时,a1+a2+a3=2-6+18=14＜20,    这与a1+a2+a3＞20矛盾,故舍去.    当q=3时,a1+a2+a3=2+6+18=26＞20,故符合题意.    设数列{bn}的公差为d,由b1+b2+b3+b4=26得4b1+d=26.    又b1=2,解得d=3,所以bn=3n-1.    (2)Sn==n2+n.    (3)b1,b4,b7,…,b3n-2组成以3d为公差的等差数列,    所以Pn=nb1+·3d=n2-n;    b10,b12,b14,…,b2n+8组成以2d为公差的等差数列,b10=29,    所以Qn=nb10+·2d=3n2+26n.    Pn-Qn=(n2-n)-(3n2+26n)=n(n-19).    所以,对于正整数n,当n≥20时,Pn＞Qn;    当n=19时,Pn=Qn;    当n≤18时,Pn＜Qn.讲评:本题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.

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