题目

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*），等差数列{bn}中bn＞0（n∈N*），且b1+b2+b3=15，又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{an•bn}的前n项和Tn． 　 答案：【考点】8E：数列的求和；81：数列的概念及简单表示法． 【分析】本题是数列中的一道综合题，（1）的求解要利用恒等式an+1=2Sn+1构造出an=2Sn﹣1+1两者作差得出an+1=3an，此处是的难点，数列的{bn}的求解根据题意列出方程求d，即可， （II）中数列求和是一个典型的错位相减法求和技巧的运用． 【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*）， ∴an=2Sn﹣1+1（n∈N*，n＞1）， ∴an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1）， ∴an+1﹣an=2an， ∴an+1=3an（n∈N*，n＞1） 而a2=2a1+1=3=3a1， ∴an+1=3an（n∈N*） ∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴an=3n﹣1（n∈N*） ∴a1=1，a2=3，a3=9， 在等差数列{bn}中， ∵b1+b2+b3=15， ∴b2=5． 又因a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列，设等差数列{bn}的公差为d， ∴（1+5﹣d）（9+5+d）=64 解得d=﹣10，或d=2， ∵bn＞0（n∈N*）， ∴舍去d=﹣10，取d=2， ∴b1=3， ∴bn=2n+1（n∈N*）， （Ⅱ）由（Ⅰ）知Tn=3×1+5×3+7×32++（2n﹣1）3n﹣2+（2n+1）3n﹣1① 3Tn=3×3+5×32+7×33++（2n﹣1）3n﹣1+（2n+1）3n② ①﹣②得﹣2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33++2×3n﹣1﹣（2n+1）3n =3+2（3+32+33++3n﹣1）﹣（2n+1）3n =， ∴Tn=n•3n 　

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