题目

如图，AB是⊙O的直径，点F、C在⊙O上且， 连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若， CD=4，求⊙O的半径． 答案：(1)证明见解析；（2）. 【解析】 （1）连结OC，由，根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线； （2）连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由F，C，B三等分半圆得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=8，在Rt△ACB中，根据勾股定理求得AB，进而求得⊙O的半径． 【详解】 （1）证明：连结OC，如图， ∵， ∴∠FAC=∠BAC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠FAC=∠OCA， ∴OC∥AF， ∵CD⊥AF， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：连结BC，如图， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∵=， ∴∠BOC=×180°=60°， ∴∠BAC=30°， ∴∠DAC=30°， 在Rt△ADC中，CD=4， ∴AC=2CD=8， 在Rt△ACB中，BC2+AC2=AB2  ， 即82+（AB）2=AB2  ， ∴AB=， ∴⊙O的半径为． 【点睛】 考查切线的判定，勾股定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系等，比较基础，站我切线的判定方法是解题的关键.

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