题目

如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点,连接DF,过点E作EH⊥DF,垂足为H,EH的延长线交DC于点G. (1)猜想DG与CF的数量关系,并证明你的结论; (2)过点H作MN∥CD,分别交AD,BC于点M,N,若正方形ABCD的边长为10,点P是MN上一点,求△PDC周长的最小值. 答案:(1)结论:CF=2DG,理由见解析;(2)△PCD的周长的最小值为10+2. 【分析】 (1)结论:CF=2DG.只要证明△DEG∽△CDF即可; (2)作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,此时△PDC的周长最短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK. 【详解】 (1)结论:CF=2DG. 理由:∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=BC=CD=AB,∠ADC=∠C=90°, ∵DE=AE, ∴AD=CD=2DE, ∵EG⊥DF, ∴∠DHG=90°, ∴∠CDF+∠DGE=90°,∠DGE+∠DEG=90°, ∴∠CDF=∠DEG, ∴△DEG∽△CDF, ∴==, ∴CF=2DG. (2)作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC, 此时△PDC的周长最短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK. 由题意:CD=AD=10,ED=AE=5,DG=,EG=,DH==, ∴EH=2DH=2, ∴HM==2, ∴DM=CN=NK==1, 在Rt△DCK中,DK===2, ∴△PCD的周长的最小值为10+2. 【点睛】 本题考查正方形的性质、轴对称最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会理由轴对称解决最短问题,属于中考常考题型.
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