题目

已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且短轴长为4，离心率为． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设椭圆C的焦点在y轴上，斜率为1的直线l与C相交于A，B两点，且，求直线l的方程． 答案：考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （Ⅰ）设出椭圆长、短半轴长，根据已知条件列方程组，解出即可，注意焦点位置不确定； （Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），用直线方程与椭圆方程联立方程组，消y得关于x的一元二次方程，用韦达定理及弦长公式可得关于m的方程，解出即可； 解答： 解：（Ⅰ）设椭圆C的长半轴长为a（a＞0），短半轴长为b（b＞0）， 则2b=4①，②．                                              联立①②，解得a=4，b=2．                                                      因为椭圆C的对称轴为坐标轴， 所以椭圆C的方程为标准方程为．        （Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，A（x1，y1），B（x2，y2）， 由方程组，消去y， 得5x2+2mx+m2﹣16=0， 由题意，得△=（2m）2﹣20（m2﹣16）＞0， 且， 因为=， 所以，解得m=±2， 验证知△＞0成立， 所以直线l的方程为x﹣y+2=0或x﹣y﹣2=0． 点评： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆标准方程的求解，考查解析几何中常见公式如：弦长公式、韦达定理的应用，考查学生分析解决问题的能力．

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