题目

已知a,b,c＞0,求证：ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc. 答案：思路分析：（1）本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在因式分解或配方时，往往采用轮换技巧.再如证明a2+b2+c2≥ab+bc+ca时，可将a2+b2+c2-(ab+bc+ca)配方为［(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2］，亦可利用a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,三式相加证明.（2）本题亦可连用两次基本不等式获证.证明：∵ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-6abc=a(b2+c2-2bc)+b(a2+c2-2ac)+c(a2+b2-2ab)=a(b-c)2+b(c-a)2+c(a-b)2≥0,∴ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc.

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