题目

如图，四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=3，AC⊥CD，且平面PCD⊥平面ABCD． （Ⅰ）求证：AC⊥PD； （Ⅱ）在线段PA上，是否存在点E，使BE∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 　 答案：【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】（I）利用面面垂直的性质定理即可证明； （II）线段PA上，存在点E，使BE∥平面PCD．在△PAD中，分别取PA、PD靠近点P的三等分点E、F，连接EF．由平行线分线段成比例定理在三角形中的应用，即可得到EF∥AD，．利用已知条件即可得到，得到四边形BCFE为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明． 【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AC⊥CD，AC⊂平面ABCD， ∴AC⊥平面PCD， ∵PD⊂平面PCD， ∴AC⊥PD． （Ⅱ）线段PA上，存在点E，使BE∥平面PCD．下面给出证明： ∵AD=3， ∴在△PAD中，分别取PA、PD靠近点P的三等分点E、F，连接EF． ∵，∴EF∥AD，． 又∵BC∥AD，∴BC∥EF，且BC=EF， ∴四边形BCFE是平行四边形， ∴BE∥CF，BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD， ∴BE∥平面PCD． 【点评】熟练掌握面面垂直的性质定理、平行线分线段成比例定理在三角形中的应用、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理是解题的关键． 　

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