题目

圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成—个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图1­6所示)．双曲线C1：－＝1过点P且离心率为. 图1­6 (1)求C1的方程； (2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点．若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程． 答案：解：(1)设切点坐标为(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则切线斜率为－，切线方程为y－y0＝－(x－x0)，即x0x＋y0y＝4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为故其围成的三角形的面积S＝··＝.由x＋y＝4≥2x0y0知，当且仅当x0＝y0＝时x0y0有最大值2，此时S有最小值4，因此点P的坐标为(，)． 由题意知 解得a2＝1，b2＝2，故C1的方程为x2－＝1. (2)由(1)知C2的焦点坐标为(－，0)，(，0)，由此可设C2的方程为其中b1>0. 由P(，)在C2上， 解得b＝3， 因此C2的方程为＋＝1. 显然，l不是直线y＝0. 设直线l的方程为x＝my＋，点A(x1，y1)，B(x2，y2)， ② 由x1＝my1＋，x2＝my2＋，得 所以x1x2－(x1＋x2)＋y1y2－(y1＋y2)＋4＝0，⑤ 将①②③④代入⑤式整理得 2m2－2 m＋4 －11＝0， 解得m＝－1或m＝－＋1. 因此直线l的方程为 x－(－1)y－＝0或x＋(－1)y－＝0.

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