题目

如图．在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E． （1）求证：△OAD≌△EAB； （2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式； （3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF的对称点在x轴上？若有，求出点P的坐标； （4）连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与△OED相似，求点M的坐标． 答案：考点： 二次函数综合题． 分析： （1）证明IF⊥OD，进而得到∠FED=∠EBA；又因为DA=BA，且∠OAD=∠EAB=90°，故可证明△OAD≌△EAB； （2）首先求出点B、E的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式； （3）由于直线BD与x轴关于直线BF对称，则抛物线与直线BD的交点即为所求之点P．分别求出抛物线与直线BD的解析式，联立解方程，即可求出交点（点P）的坐标； （4）首先证明△OED是顶角为135°的等腰三角形，若△BMD与△OED相似，则△BMD必须是等腰三角形．如答图2所示，在直线BF上能使△BMD为等腰三角形的点M有4个，分别记为M1，M2，M3，M4，其中符合题意的是点M1，M3． 解答： （1）证明：如答图1所示，连接ID，IO， ∵I为△BOD的外心，∴IO=ID， 又F为OD的中点，∴IF⊥OD． ∴∠DEF+∠FDE=∠AEB+∠ABE=90°，又∠DEF=∠AEB， ∴∠FED=∠EBA．而DA=BA，且∠OAD=∠EAB=90°， ∴△OAD≌△EAB． （2）解：由（1）知IF⊥OD，又BF为中线， ∴BO=BD=AB=2， ∴OA=BO﹣AB=2﹣． 由（1）知△OAD≌△EAB，∴AE=OA=2﹣， ∴E（2﹣，2﹣），B（2，0）． 设过点O、B、E的抛物线解析式为y=ax2+bx， 则有， 解得， ∴抛物线的解析式为：y=x2+x． （3）解：∵直线BD与x轴关于直线BF对称， ∴抛物线与直线BD的交点，即为所求之点P． 由（2）可知，B（2，0），D（2﹣，），可得直线BD的解析式为y=﹣x+2． ∵点P既在直线y=﹣x+2上，也在抛物线y=x2+x上， ∴﹣x+2=x2+x，解此方程得：x=2或x=， 当x=2时，y=﹣x+2=0；当x=时，y=﹣x+2=2﹣， ∴点P的坐标为（2，0）（与点B重合），或（，2﹣）． （4）解：∵DBO=45°，BD=BO，BF⊥OD， ∴∠EBA=22.5°，由（1）知∠ODA=22.5°，故∠DOA=67.5°，OA=EA， ∴∠EOA=45°，∠DOE=22.5°，即△OED是顶角为135°的等腰三角形． 若△BMD与△OED相似，则△BMD必须是等腰三角形． 如答图2所示，在直线BF上能使△BMD为等腰三角形的点M有4个，分别记为M1，M2，M3，M4，其中符合题意的是点M1，M3． ∵DM1=DB=2，OA=2﹣，∴M1（﹣，）． 由（1）知B（2，0），E（2﹣，2﹣），故直线BE的解析式为y=（1﹣）x﹣2+． I是△BOD的外心，它是OB的垂直平分线x=1与OD的垂直平分线BE的交点， ∴I（1，﹣1），即M3（1，﹣1）． 故符合题意的M点的坐标为（﹣，），（1，﹣1）． 点评： 本题考查了二次函数综合题型：第（1）问涉及全等三角形的证明；第（2）问涉及利用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式；第（3）问涉及轴对称知识，以及抛物线与一次函数的交点问题；第（4）问涉及相似三角形的判定，以及点的坐标的确定与计算．本题涉及考点众多，难度较大，对数学能力要求较高．

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