题目

本小题满分12分  设数列的前项和为，如果为常数，则称数列为“科比数列”．  　　（1）等差数列的首项为1，公差不为零，若为“科比数列”，求的通项公式；  　　（2）数列的各项都是正数，前项和为，若对任意 都成立，试推断数列是否为“科比数列”？并说明理由． 答案：【解】（1）设等差数列的公差为，，因为，则，即．   整理得，．                      　　　　　………………3分        因为对任意正整数上式恒成立，则，解得．　…… 5分        故数列的通项公式是．                  　　　　　…………… 6分    ⑵ 由已知，当时，．因为，所以． 　　…………7分 当时，，． 两式相减，得． 因为，所以=．                   　…………9分 显然适合上式，所以当时，． 于是． 因为，则， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列． 所以不为常数，故数列不是“科比数列”． ……12分

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