题目

已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F． （1）求证：DE为⊙O的切线． （2）求证：AB：AC=BF：DF． 答案：考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： （1）连接OD、AD，求出CDA=∠BDA=90°，求出∠1=∠4，∠2=∠3，推出∠4+∠3=∠1+∠2=90°，根据切线的判定推出即可； （2）证△ABD∽△CAD，推出=，证△FAD∽△FDB，推出=，即可得出AB：AC=BF：DF． 解答： 证明：（1）连结DO、DA， ∵AB为⊙O直径， ∴∠CDA=∠BDA=90°， ∵CE=EA， ∴DE=EA， ∴∠1=∠4， ∵OD=OA， ∴∠2=∠3， ∵∠4+∠3=90°， ∴∠1+∠2=90°， 即：∠EDO=90°， ∵OD是半径， ∴DE为⊙O的切线； （2）∵∠3+∠DBA=90°，∠3+∠4=90°， ∴∠4=∠DBA， ∵∠CDA=∠BDA=90°， ∴△ABD∽△CAD， ∴=， ∵∠FDB+∠BDO=90°，∠DBO+∠3=90°， 又∵OD=OB， ∴∠BDO=∠DBO， ∴∠3=∠FDB， ∵∠F=∠F， ∴△FAD∽△FDB， ∴=， ∴=， 即AB：AC=BF：DF． 点评： 本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．

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