题目

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2(n=1，2，3，…)，数列{bn}中，b1=1，点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上．(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项an和bn；(Ⅱ)记Sn=a1b1+a2b2+…+anbn，求满足Sn＜167的最大正整数n． 答案：解：(Ⅰ)∵Sn=2an-2，Sn-1=2an-1-2，又Sn-Sn-1=an(n≥2，n∈N*)∴an=2an-2an-1，∵an≠0∴=2(n≥2，n∈N*)，即数列{an}是等比数列．∵a1=S1，∴a1=2a1-2，即a1=2．∴an=2n∵点P(bn，bn+1)在直线x-y+2=0上，∴bn-bn+1+2=0∴bn+1-bn=2，即数列{bn}是等差数列，又b1=1，∴bn=2n-1(Ⅱ)Sn=a1b1+a2b2+…anbn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)2n，∴2Sn=1×22+3×23+…+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1因此：-Sn=1×2+(2×22+2×23+…+2×2n)-(2n-1)2n+1即：-Sn=1×2+(23+24+…+2n+1)-(2n-1)2n+1∴Sn=(2n-3)2n+2+6(10分)∵Sn＜167，即：(2n-3)·2n+1+6＜167，于是(2n-3)·2n+1＜161又由于当n=4时(2n-3)·2n+1=(2×4-3)·25=160，当n=5时(2n-3)·2n+1=(2×5-3)·26=448，故满足条件Sn＜167的最大正整数n为4

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