题目

（本小题共13分） 对于数列，若满足，则称数列为“0-1数列”.定义变换，将“0-1数列”中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如:1,0,1，则设是“0-1数列”，令 . (Ⅰ) 若数列： 求数列； (Ⅱ) 若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由； (Ⅲ)若为0，1，记数列中连续两项都是0的数对个数为，.求关于的表达式. 答案：（共13分） 解：(Ⅰ)由变换的定义可得                           ………………2分                                                    ………………4分 (Ⅱ) 数列中连续两项相等的数对至少有10对                    ………………5分 证明：对于任意一个“0-1数列”，中每一个1在中对应连续四项1,0,0,1，在中每一个0在中对应的连续四项为0,1,1,0， 因此，共有10项的“0-1数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对， 所以中至少有10对连续相等的数对.                            ………………8分 (Ⅲ) 设中有个01数对， 中的00数对只能由中的01数对得到，所以， 中的01数对有两个产生途径：①由中的1得到； ②由中00得到， 由变换的定义及可得中0和1的个数总相等，且共有个， 所以， 所以， 由可得， 所以， 当时， 若为偶数，,             ,                          . 上述各式相加可得， 经检验，时，也满足. 若为奇数，                                       . 上述各式相加可得， 经检验，时，也满足. 所以    .                               ………………13分 说明：其它正确解法按相应步骤给分.

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