题目

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，一条准线方程为x=2．过椭圆的上顶点A作一条与x轴、y轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P，P关于x轴的对称点为Q． （1）求椭圆的方程； （2）若直线AP，AQ与x轴交点的横坐标分别为m，n，求证：mn为常数，并求出此常数． 答案：【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）利用=， =2，及其b=，解出即可得出． （2）证法一：设P点坐标为（x1，y1），则Q点坐标为（x1，﹣y1）．可得kAP，直线AP的方程为y=x+1．令y=0，解得m．同理可得n．再利用（x1，y1）在椭圆+y2=1上，即可得出mn． 解法二：设直线AP的斜率为k（k≠0），则AP的方程为y=kx+1，令y=0，得m．联立，解得P，则可得Q点的坐标．可得kAQ，可得直线AQ的方程，可得n，即可得出． 【解答】解：（1）∵=， =2， 解得a=，c=1， ∴b==1． 故椭圆的方程为+y2=1． （2）证法一：设P点坐标为（x1，y1），则Q点坐标为（x1，﹣y1）． ∵kAP==， ∴直线AP的方程为y=x+1． 令y=0，解得m=﹣． ∵kAQ==﹣， ∴直线AQ的方程为y=﹣x+1． 令y=0，解得n=． ∴mn=﹣×=． 又∵（x1，y1）在椭圆+y2=1上， ∴=1，即1﹣=， ∴mn=2． ∴以mn为常数，且常数为2． 解法二：设直线AP的斜率为k（k≠0），则AP的方程为y=kx+1， 令y=0，得m=﹣． 联立 消去y，得（1+2k2）x2+4kx=0，解得xA=0，xP=﹣， ∴yP=k×xP+1=， 则Q点的坐标为（﹣，﹣）． ∴kAQ==， 故直线AQ的方程为y=x+1． 令y=0，得n=﹣2k， ∴mn=（﹣）×（﹣2k）=2． ∴mn为常数，常数为2． 　

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