题目

已知f(x)=ax2+bx+c(a、b、c∈R,且a≠0).证明方程f(x)=0有两个不相等的实数解的充要条件是:存在x0∈R,使af(x0)<0. 答案：证明:(1)充分性:若存在x0∈R,使af(x0)<0,则b2-4ac=b2-4a［f(x0)-ax02-bx0］=b2+4abx0+4a2x02-4af(x0)=(b+2ax0)2-4af(x0)>0.∴方程f(x)=0有两个不等实根.(2)必要性:若方程f(x)=0有两个不等实根,则b2-4ac>0.设x0=-,a·f(x0)=a［a(-)2+b(-)+c］=-+ac=<0.

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