题目

如图5，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k＞0)． 图5 (1)求证：CD⊥平面ADD1A1. (2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值． 答案：图(1) 【证明】　(1)取CD的中点E，连结BE，如图(1)． ∵AB∥DE，AB＝DE＝3k， ∴四边形ABED为平行四边形， ∴BE∥AD且BE＝AD＝4k. 在△BCE中，∵BE＝4k，CE＝3k， BC＝5k， ∴BE2＋CE2＝BC2， ∴∠BEC＝90°，即BE⊥CD. 又∵BE∥AD，∴CD⊥AD. ∵AA1⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴AA1⊥CD. 又AA1∩AD＝A，∴CD⊥平面ADD1A1. 图(2) 1.

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