题目

已知动圆P与圆F1：（x+3）2+y2=81相切，且与圆F2：（x﹣3）2+y2=1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点． （Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）试探究|MN|和|OQ|2的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由； （Ⅲ）记△QF2M的面积为S1，△OF2N的面积为S2，令S=S1+S2，求S的最大值． 答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（I）设圆心P的坐标为（x，y），半径为R，由已知条件推导出|PF1|+|PF2|=8＞|F1F2|=6，从而圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，由此能求出圆心P的轨迹C的方程． （II）设直线OQ：x=my，则直线MN：x=my+3，由，能求出|OQ|2，由，能求出|MN|，由此能求出|MN|和|OQ|2的比值为常数． （III）由△QF2M的面积=△OF2M的面积，能求出S=S1+S2的最大值． 【解答】（本小题满分13分） 解：（I）设圆心P的坐标为（x，y），半径为R 由于动圆P与圆相切， 且与圆相内切，所以动 圆P与圆只能内切 ∴，∴|PF1|+|PF2|=8＞|F1F2|=6… ∴圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，其中2a=8，2c=6， ∴a=4，c=3，b2=a2﹣c2=7 故圆心P的轨迹C：．… （II）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3）， 直线OQ：x=my，则直线MN：x=my+3 由，得：，∴， ∴… 由，得：（7m2+16）y2+42my﹣49=0， ∴， ∴ == =… ∴， ∴|MN|和|OQ|2的比值为一个常数，这个常数为… （III）∵MN∥OQ，∴△QF2M的面积=△OF2M的面积， ∴S=S1+S2=S△OMN ∵O到直线MN：x=my+3的距离， ∴… 令，则m2=t2﹣1（t≥1）， ∵（当且仅当，即，亦即时取等号） ∴当时，S取最大值…

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