题目

（08年安徽皖南八校联考）（本小题满分14分）如图所示，边长为2的等边△所在的平面垂直于矩形所在的平面，，为的中点．（1）证明：⊥；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离．  答案：解析:（法一）（1）证明：取中点，连接、．    ∵△是等边三角形，∴⊥，    又平面⊥平面，    ∴⊥平面，∴在平面内射影是，                    ………………………2分    ∵=2，，，,    ∴△∽△，∴． 又°，∴°，    ∴°，∴⊥， …………………………………………………4分    由三垂线定理知⊥  …………………………………………………………5（2）解：由⊥，⊥得是二面角的平面角                                                                   …………6分    在Rt△中，，，…8分    ∴，………………………………………………………………9分    °，∴二面角的大小是45° ……………………………10分  （3）解：设到平面的距离距离是，则，                                                            ………………11分，，．又，，∴=，∴点到平面的距离距离是 ……………………………14分   （方法二）证明：取中点，连接，    ∵△是等边三角形，∴⊥，    又∵平面⊥平面，    ∴⊥平面，又是矩形，∴可建立如图所示的空间直角坐标系 …………………………………………………2分    ∵=2，，    ∴（，-1，0），（，1，0），（0，0，），……………………3分    ∴（-，2，0），（，1，-），∴=         ………………………………………………………………………………………4分∴⊥，∴⊥  ………………………………………………………5分（2）解：由（1）知平面的法向量m=（0，0，）……………………6分    设平面的法向量n =（，，），则n⊥，n⊥，    ∴，，    取，得， ………………………………………………………8分    n =（1，，），，    ∴二面角的大小是45°  ………………………………………………10分（3）解：（0，―1，0），，（0，-1，-） ……………………………11分又n =（1，，），∴………………………………………13分∴点到平面的距离距离是． …………………………………………14分 

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