题目

如图7，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD、BC于E、F，作BH⊥AF于点H，分别交AC、CD于点G、P，连结GE、GF． （1）求证：△OAE ≌△OBG． （2）试问：四边形BFGE是否为菱形?若是，请证明；若不是，请说明理由． （3）试求：的值（结果保留根号）．   答案：．解：（1）证明： ∵四边形ABCD是正方形 ∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°             ∵BH⊥AF ∴∠AHG=90° ∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH ∴∠GAH=∠OBG ∴△OAE≌△OBG. （2）四边形BFGE是菱形,理由如下： ∵∠GAH=∠BAH,AH=AH, ∠AHG=∠AHB ∴△AHG≌△AHB ∴GH=BH ∴AF是线段BG的垂直平分线 ∴EG=EB,FG=FB ∵∠BEF=∠BAE+∠ABE=，∠BFE=90°-∠BAF=67.5° ∴∠BEF=∠BFE                     ∴EB=FB ∴EG=EB=FB=FG ∴四边形BFGE是菱形 （3）设OA=OB=OC=a,菱形GEBF的边长为b. ∵四边形BFGE是菱形,  ∴GF∥OB, ∴∠CGF=∠COB=90°,  ∴∠GFC=∠GCF=45°, ∴CG=GF=b （也可由△OAE≌△OBG得OG=OE=a－b,OC－CG=a-b,得CG=b） ∴OG=OE=a-b,在Rt△GOE中，由勾股定理可得：，求得 ∴AC=,AG=AC－CG= ∵PC∥AB, ∴△CGP∽△AGB, ∴, 由（1）△OAE≌△OBG得AE=GB， ∴

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