题目

已知a、b是两个非零向量，同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角. 答案：思路分析：根据向量夹角公式得：cosθ=,须根据已知条件找到a·b与a的关系.|a+b|与|a|的关系即可解决.解法1：根据|a|=|b|,有|a|2=|b|2.又由|b|=|a-b|,得|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,∴a·b=|a|2.而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2,∴|a+b|=|a|.设a与a+b的夹角为θ，则cosθ=.∴θ=30°解法2：设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).∵|a|=|b|,∴x12+y12=x22+y22.由|b|=|a-b|,得x1x2+y1y2=(x12+y12).即a·b=(x12+y12).由|a+b|2=2(x12+y12)+2×(x12+y12)=3(x12+y12),得|a+b|=.设a与a+b的夹角为θ,则cosθ=.∴θ=30°.解法3：根据向量加法的几何意义，作图如下图在平面内任取一点O，作=a，=b，以、为邻边作平行四边形OACB.∵|a|=|b|,即||=||，∴平行四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB.这时=a+b，=a-b.而|a|=|b|=|a-b|,即||=||=||.∴△AOB为正三角形，则∠AOB=60°.于是∠AOC=30°,即a与a+b的夹角为30°.温馨提示    基于平面向量的表示上的差异,也就是表示方法的不同，才产生了以上三种不同解法.对于本题的三种解法都要认真理解.

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