题目

如图，在空间六边形(即六个顶点没有任何五点共面)ABCC1D1A1中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于a，并且AA1∥CC1.求证：平面A1BC1∥平面ACD1. 答案：证法一:作正方形BCC1B1和CC1D1D，并连结A1B1和AD.    ∵AA1CC1BB1DD1,且AA1⊥AB，AA1⊥A1D1，    ∴ABB1A1和AA1D1D都是正方形，且ACC1A1是平行四边形.    故它们的对应边平行且相等.    ∵△ABC≌△A1B1C1,    ∴A1B1⊥B1C1.    同理，AD⊥CD.    ∵BB1⊥AB,BB1⊥BC,∴BB1⊥平面ABC.    同理，DD1⊥平面ACD.    ∵BB1∥DD1,    ∴BB1⊥平面ACD.    ∴A、B、C、D四点共面.    ∴ABCD为正方形.    同理，A1B1C1D1也是正方形.    故ABCD—A1B1C1D1是正方体.    易知A1C1∥AC，    ∴A1C1∥平面ACD1.    同理，BC1∥平面ACD1，    ∴平面A1BC1∥平面ACD1.证法二:证ABCD—A1B1C1D1是正方体，同上.    连结B1D、B1D1，则B1D1是B1D在底面ABCD上的射影，    由三垂线定理知B1D⊥A1C1，同理可证B1D⊥BA1，    ∴B1D⊥平面A1BC1.    同理可证，B1D⊥平面ACD1，    ∴平面A1BC1∥平面ACD1.

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