题目

如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE． （1）如图1，求证：∠CAE=∠CBD； （2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF； （3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC=2，CE=1，求△CGF的面积． 答案：【解答】解：（1）在△ACE和△BCD中，， ∴△ACE≌△BCD， ∴∠CAE=∠CBD； （2）如图2，在Rt△BCD中，点F是BD的中点， ∴CF=BF， ∴∠BCF=∠CBF， 由（1）知，∠CAE=∠CBD， ∴∠BCF=∠CAE， ∴∠CAE+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠BAC=90°， ∴∠AMC=90°， ∴AE⊥CF； （3）如图3，∵AC=2， ∴BC=AC=2， ∵CE=1， ∴CD=CE=1， 在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD==3， ∵点F是BD中点， ∴CF=DF=BD=， 同理：EG=AE=， 连接EF，过点F作FH⊥BC， ∵∠ACB=90°，点F是BD的中点， ∴FH=CD=， ∴S△CEF=CE•FH=×1×=， 由（2）知，AE⊥CF， ∴S△CEF=CF•ME=×ME=ME， ∴ME=， ∴ME=， ∴GM=EG﹣ME=﹣=， ∴S△CFG=CF•GM=××=． 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，勾股定理，作出辅助线求出△CFG的边CF上的是解本题的关键． 　

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