题目

（天津卷文21）设函数，其中． （Ⅰ）当时，讨论函数的单调性； （Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围； （Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围． 答案：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．满分14分． （Ⅰ）解：． 当时，． 令，解得，，． 当变化时，，的变化情况如下表： 0 2 － 0 ＋ 0 － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以在，内是增函数，在，内是减函数． （Ⅱ）解：，显然不是方程的根． 为使仅在处有极值，必须成立，即有． 解些不等式，得．这时，是唯一极值． 因此满足条件的的取值范围是． （Ⅲ）解：由条件，可知，从而恒成立． 当时，；当时，． 因此函数在上的最大值是与两者中的较大者． 为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立． 所以，因此满足条件的的取值范围是．

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