题目

椭圆的中心为坐标原点,点分别是椭圆的左、右顶点,为椭圆的上顶点,一个焦点为,离心率为.点是椭圆上在第一象限内的一个动点,直线与轴交于点,直线与轴交于点. （I）求椭圆的标准方程； （II）若把直线的斜率分别记作，求证：；  (III) 是否存在点使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由. 答案：解: （I）由题意，可设椭圆C的方程为,则，， 所以，，                        所以椭圆C的方程为.                        （II）由椭圆C的方程可知，点的坐标为，点的坐标为,     设动点的坐标为，由题意可知,     直线的斜率，直线的斜率,     所以 ,                           因为点在椭圆上，     所以,即,                     所以                              （III）设直线的方程为，    令，得，所以点的坐标为,               设直线的方程为，    令，得，所以点的坐标为,             由椭圆方程可知，点的坐标为,    由，得,    由题意，可得 整理得,                                      与联立,消可得,    解得或 ,                                  所以直线的直线方程为或,    因为与椭圆交于上顶点，不符合题意.    把代入椭圆方程,得,    解得或,                                         因为，所以点的坐标为.                说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.

查看本题答案和解析