题目

已知四棱锥中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=120°，PA=b． （Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC； （Ⅱ）设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角O﹣PM﹣D的正切值为，求a：b的值． 　 答案：【考点】平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题． 【专题】综合题；空间向量及应用． 【分析】（I）根据线面垂直的判定，证明BD⊥平面PAC，利用面面垂直的判定，证明平面PBD⊥平面PAC． （II）过O作OH⊥PM交PM于H，连HD，则∠OHD为A﹣PM﹣D的平面角，利用二面角O﹣PM﹣D的正切值为，即可求a：b的值． 【解答】解：（I）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD， 又ABCD为菱形，所以AC⊥BD， 因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC， 因为BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC． （II）解：过O作OH⊥PM交PM于H，连HD， 因为DO⊥平面PAC，由三垂线定理可得DH⊥PM，所以∠OHD为A﹣PM﹣D的平面角 又，且 从而 ∴ 所以9a2=16b2，即． 【点评】本题考查线面垂直、面面垂直的判定，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直、面面垂直的判定，作出面面角．

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