题目

已知二次函数f（x）=x2+bx+c（其中b，c为实常数）． （Ⅰ）若b＞2，且y=f（sinx）（x∈R）的最大值为5，最小值为﹣1，求函数y=f（x）的解析式； （Ⅱ）是否存在这样的函数y=f（x），使得{y|y=x2+bx+c，﹣1≤x≤0}=[﹣1，0]，若存在，求出函数y=f（x）的解析式；若不存在，请说明理由． （Ⅲ）记集合A={x|f（x）=x，x∈R}，B={x|f（f（x））=x，x∈R}． ①若A≠∅，求证：B≠∅； ②若A=∅，判断B是否也为空集． 答案：【考点】二次函数的性质． 【分析】（Ⅰ）求出函数的对称轴小于﹣1，得到关于b，c的方程组，解出即可； （Ⅱ）求出f（x）的对称轴，通过讨论对称轴的位置，结合函数的值域求出b，c的值，从而求出f（x）的表达式即可； （Ⅲ）通过整理方程得到x2+（b﹣1）x+c=0或x2+（b+1）x+b+c+1=0，结合二次函数的性质进行证明即可． 【解答】解：（Ⅰ）由条件知f（x）=x2+bx+c的最大值为5，最小值为﹣1 而b＞2，则对称轴， 则，即， 解得 则f（x）=x2+3x+1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ）f（x）=x2+bx+c，﹣1≤x≤0，对称轴x=﹣， 若b≥2，则，则， 解得，此时f（x）=x2+2x， 若b≤0，则，则， 解得，此时f（x）=x2﹣1， 若0＜b≤1，则，则， 解得（舍）或（舍）， 此时不存在函数f（x），若1＜b＜2，则， 则，解得（舍）或（舍），此时不存在函数f（x）， 综上所述存在函数f（x）=x2﹣1和f（x）=x2+2x满足条件﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅲ）由f（x）=x2+bx+c得f（f（x））=f2（x）+bf（x）+c及c=f（x）﹣x2﹣bx， 由f（f（x））=x得到f2（x）+bf（x）+c=x，即f2（x）+bf（x）+f（x）﹣x2﹣bx=x， 整理得到f2（x）﹣x2+b（f（x）﹣x）+（f（x）﹣x）=0， 即（f（x）﹣x）（f（x）+x+b+1）=0① 即f（x）﹣x=0或f（x）+x+b+1=0， 即x2+（b﹣1）x+c=0②或x2+（b+1）x+b+c+1=0③ 方程②的判别式△=（b﹣1）2﹣4c 方程③的判别式， ①若A≠ϕ，即f（x）﹣x=0有解，即x2+（b﹣1）x+c=0有解，即△≥0，则①有解， 即B≠ϕ， ②若A=ϕ，即△＜0，则△1＜0，②和③均无解，则①无解，即B=ϕ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

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