题目

已知函数f(x)=，存在正数b，使得f(x)的定义域和值域相同.（1）求非零实数a的值；（2）若函数g(x)=f(x)有零点，求b的最小值. 答案：解：(1)若a＞0，对于正数b，f(x)的定义域为D=(-∞,］∪［0,+∞)，但f(x)的值域A［0,+∞)，故D≠A，不合要求. 若a＜0，对于正数b，f(x)的定义域为D=［0,］. 由于此时［f(x)］max=f()=，故函数的值域A=［0,］由题意，有，由于b＞0，所以a=-4. (2)由f(x)=0,即=(0＜x≤),得4x4-bx3+b2=0.记h(x)=4x4-bx3+b2,则h′(x)=16x3-3bx2.令h′(x)=0,x=∈(0,］, 易知h(x)在(0,］上递减；在［,］上递增.∴x=是h(x)的一个极小值点. 又h()=b2＞0,h(0)→b2＞0,∴由题意有h()≤0, 即4()4-b()3+b2≤0.∴b2≥.故bmin=.

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