题目

已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2． （1）解不等式f（x）≥0； （2）若对任意的实数x，都有f（x）﹣2a2≥|x|﹣3a﹣2，求实数a的取值范围． 答案：【分析】（1）把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求． （2）由题意可得，|2x+1|﹣2|x|≥2a2﹣3a 恒成立，利用绝对值三角不等式可得 2a2﹣3a≤1，由此解得a的范围． 【解答】解：（1）由不等式f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2≥0，可得①，或②，或③． 解①求得x≤﹣3；解②求得x∈∅，解③求得 x≥1． 综上可得，原不等式的解集为{x|x≤﹣3，或  x≥1}． （2）若对任意的实数x，都有f（x）﹣2a2≥|x|﹣3a﹣2，则|2x+1|﹣2|x|≥2a2﹣3a 恒成立． 又∵|2x+1|﹣2|x|≤|2x+1﹣2x|=1，∴2a2﹣3a≤1，解得≤a≤1， 即实数a的取值范围为[，1]．

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