题目

（1）△ABC和△CDE是两个等腰直角三角形，如图1，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，连结AD、BE，求证：△ACD≌△BCE． （2）△ABC和△CDE是两个含30°的直角三角形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝30°，CD＜AC，△CDE从边CD与AC重合开始绕点C逆时针旋转一定角度α（0°＜α＜180°）； ①如图2，DE与BC交于点F，与AB交于点G，连结AD，若四边形ADEC为平行四边形，求的值； ②若AB＝10，DE＝8，连结BD、BE，当以点B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，求BE的长． 答案：【解析】（1）证明：∵△ABC和△CDE是两个等腰直角三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）； （2）解：①连接CG，如图2所示： ∵四边形ADEC为平行四边形， ∴AD∥CE， ∴∠ADE+∠CED＝180°， ∵∠CED＝90°﹣∠CDE＝90°﹣30°＝60°， ∴∠ADE＝120°， ∴∠ADC＝∠ADE﹣∠CDE＝90°， ∵∠CAB＝∠CDE＝30°， ∴A、D、G、C四点共圆， ∴∠AGC＝∠ADC＝90°， ∵∠CAB＝30°， ∴CG＝AC，AG＝CG，∠BCG＝30°， ∴CG＝BG，即BG＝ CG， ∴ ＝3； ②分三种情况： 当∠BED＝90°时，如图3所示： ∵△ABC和△CDE是两个含30°的直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝30°， ∴∠ACD＝∠BCE，， ∴△ACD∽△BCE， ∴＝， ∴AD＝BE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°+∠CED＝90°+60°＝150°， ∵∠CDE＝30°， ∴∠CDE+∠ADC＝180°， ∴A、D、E共线， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2， 即（BE+8）2+BE2＝102， 解得：BE＝﹣2± （负值舍去）， ∴BE＝﹣2+； 当∠DBE＝90°时，如图4所示： 作CF⊥AB于F，则∠BCF＝30°， ∴BF＝BC， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝30°， ∴BC＝AB＝5，CEDE＝4， ∴CD＝CE＝4， ∴BF＝BC＝， ∴CF＝BF＝ ， ∴DF＝， ∵AB＝AD+DF+BF， ∴AD＝10﹣， ∴BE＝； 当∠BDE＝90°时，如图5所示： 作BG⊥CD于G，则∠BDG＝∠BDE﹣∠CDE＝60°， ∴∠DBG＝30°，∴BD＝2DG，BG＝DG， 设DG＝x，则CG＝4﹣x，BG＝x， 在Rt△BCG中，由勾股定理得：CG2+BG2＝BC2， 即（4﹣x）2+（x）2＝52， 整理得：4xx+23＝0， ∵△＝（﹣8）2﹣4×4×23＜0，∴此方程无解； 综上所述，当以点B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，BE的长为﹣2+ 或．

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