题目

如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积． （3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：【分析】（1）点A（2，0）、点B（﹣4，0），则函数的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+4）＝a（x2+2x﹣8），即可求解； （2）PE＝OD，则PE＝（x2+x﹣2﹣x+2）＝（﹣x），求得：点D（﹣5，0），利用S△PBE＝PE×BD＝（x2+x﹣2﹣x+2）（﹣4﹣x），即可求解； （3）BD＝1＝BM，则yM＝﹣BMsin∠ABC＝﹣1×＝﹣，即可求解． 【解答】解：（1）点A的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，则点B（﹣4，0）， 则函数的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+4）＝a（x2+2x﹣8）， 即：﹣8a＝﹣2，解得：a＝， 故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣2； （2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得： 直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣2，则tan∠ABC＝，则sin∠ABC＝， 设点D（x，0），则点P（x，x2+x﹣2），点E（x，x﹣2）， ∵PE＝OD， ∴PE＝（x2+x﹣2﹣x+2）＝（﹣x）， 解得：x＝0或﹣5（舍去x＝0）， 即点D（﹣5，0） S△PBE＝×PE×BD＝（x2+x﹣2﹣x+2）（﹣4﹣x）＝； （3）由题意得：△BDM是以BD为腰的等腰三角形，只存在：BD＝BM的情况， BD＝1＝BM， 则yM＝﹣BMsin∠ABC＝﹣1×＝﹣， 则xM＝﹣， 故点M（﹣，﹣）． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

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