题目
(本小题满分12分) 已知四棱锥,其中,,,∥,为的中点. (Ⅰ)求证:∥面; (Ⅱ)求证:面; (III)求四棱锥的体积.
答案:(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)取AC中点G,连结FG、BG, ∵F,G分别是AD,AC的中点 ∴FG∥CD,且FG=DC=1 . ∵BE∥CD ∴FG与BE平行且相等 ∴EF∥BG. ……………………………2分 ∴∥面 ……………………………4分 (Ⅱ)∵△ABC为等边三角形 ∴BG⊥AC 又∵DC⊥面ABC,BG面ABC ∴DC⊥BG ∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC,DC, ∴BG⊥面ADC . …………………………………………6分 ∵EF∥BG ∴EF⊥面ADC ∵EF面ADE,∴面ADE⊥面ADC . …………………………………………8分 (Ⅲ)连结EC,该四棱锥分为两个三棱锥E-ABC和E-ADC . .………………………12分 另法:取的中点为,连结,则,又平面, ∴ , ∴平面,∴为的高,.