题目

（本小题满分12分）(原创题) 在平面直角坐标系中，已知，若实数使向量。 （1）求点的轨迹方程，并判断点的轨迹是怎样的曲线； （2）当时，过点且斜率为的直线与此时（1）中的曲线相交的另一点为，能否在直线上找一点，使为正三角形（请说明理由）。 答案：当时，方程为，P的轨迹是圆。 当，即时，方程为，点的轨迹是双曲线。 当，即=±1时，方程为，点的轨迹是射线。,在直线上找不到点满足条件 解析:解：（1）由已知可得，,,, ∵，∴ 即点的轨迹方程 当，且，即时，有， ∵，∴，∴ ∴P点的轨迹是点为长轴的焦点在轴上的椭圆。………………………………3分 当时，方程为，P的轨迹是圆。 当，即时，方程为，点的轨迹是双曲线。 当，即=±1时，方程为，点的轨迹是射线。……………………6分 （2）过点且斜率为的直线方程为, 当时，曲线方程为， 由（1）知，其轨迹为以为长轴的焦点在轴上的椭圆。 因直线过 所以，点B不存在。 所以，在直线上找不到点满足条件。           …………………………12分

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