题目

如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作轴垂线，分别交轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF．1.当∠AOB=30°时，求弧AB的长度2.当DE=8时，求线段EF的长；3.在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．  答案： 1.连接BC，∵A（10，0），∴OA=10，CA=5。∵∠AOB=30°，∴∠ACB=2∠AOB=60°。∴弧AB的长=。2.连接OD，∵OA是⊙C直径，∴∠OBA=90°。又∵AB=BD，∴OB是AD的垂直平分线。∴OD=OA=10。在Rt△ODE中，OE=。∴AE=AO﹣OE=10﹣6=4，由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB，∠OEF=∠DEA，得△OEF∽△DEA。∴，即，∴EF=3。3.设OE=，①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB。当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE=，∴E1（，0）。当∠ECF=∠OAB时，有CE=5﹣，AE=10﹣，∴CF∥AB，有CF=AB。∵△ECF∽△EAD，∴，即，解得，。∴E2（，0）。②当交点E在点C的右侧时，∵∠ECF＞∠BOA，∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO。连接BE，∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，∴BE=AB=BD，∴∠BEA=∠BAO。∴∠BEA=∠ECF。∴CF∥BE。∴。∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=900，∴△CEF∽△AED，∴，而AD=2BE，∴。即，解得∵＜0，舍去，∴E3（，0）。∵＜0，舍去， 又∵点E在轴负半轴上，∴E4（，0）。综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，此时点E坐标为：E1（，0）、E2（，0）、E3（，0）、E4（，0）。解析:（1）连接BC，由已知得∠ACB=2∠AOB=60°，AC=AO=5，根据弧长公式求解；（2）连接OD，由垂直平分线的性质得OD=OA=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求OE，依题意证明△OEF∽△DEA，利用相似比求EF；（3）存在．当以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似时，分为①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，②当交点E在点C的右侧时，要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，③当交点E在点O的左侧时，要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，三种情况，分别求E点坐标． 

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