题目

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N*）． （1）设bn=an+1﹣2an，证明数列{bn}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式． 答案：考点： 数列递推式；等比关系的确定． 专题： 综合题． 分析： （1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由Sn+1=4an+2和Sn=4an﹣1+2相减得an+1=4an﹣4an﹣1，即an+1﹣2an=2（an﹣2an﹣1），所以bn=2bn﹣1，由此可知{bn}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列． （2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{an}的通项公式． 解答： 解：（1）由a1=1，及Sn+1=4an+2， 得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3． 由Sn+1=4an+2，① 则当n≥2时，有Sn=4an﹣1+2，② ①﹣②得an+1=4an﹣4an﹣1，所以an+1﹣2an=2（an﹣2an﹣1）， 又bn=an+1﹣2an，所以bn=2bn﹣1，所以{bn}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分） （2）由（I）可得bn=an+1﹣2an=3•2n﹣1，所以． 所以数列是首项为，公差为的等差数列． 所以，即an=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分） 点评： 本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．

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