题目

已知动圆P过定点F(0，－)，且与直线l相切，椭圆N的对称轴为坐标轴，一个焦点是F，点A(1，)在椭圆N上． (1)求动圆圆心P的轨迹M的方程和椭圆N的方程； (2)已知与轨迹M在x＝－4处的切线平行的直线与椭圆N交于B、C两点，试探求使△ABC面积等于的直线l是否存在？若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 答案：解：(1)由题意知：点P到定点F(0，－)和直线y＝的距离相等，故P的轨迹M是以F为焦点，y＝为准线的抛物线． ∴＝，∴p＝2 ∴轨迹M的方程为：x2＝－4y 又由题意：可设椭圆方程为：＋＝1(a>b>0) ∴2a＝＝4 ∴a＝2，又c＝，∴b＝， ∴椭圆N的方程为＋＝1. (2)不存在满足条件的直线l. 理由如下：若存在这样的直线l， ∵轨迹M为抛物线x2＝－4y，它在x＝－4处的切线斜率为k＝. 故可设l的方程为：y＝x＋m， 联立消去y整理得，4x2＋2mx＋m2－4＝0 ∴Δ＝(2m)2－16(m2－4)>0，∴m2<8且m≠0， 设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x2＝－m，x1x2＝， 由两点间的距离公式可求得|BC|＝ 又点A到l距离d＝∴m4－8m2＋18＝0，显然此方程无解，即m不存在， 故这样的直线l不存在．

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