题目

（本小题满分14分） 已知数列的首项为，对任意的，定义. （Ⅰ） 若，求； （Ⅱ） 若，且. （ⅰ）当时，求数列的前项和； （ⅱ）当时，求证：数列中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次. 答案：（本小题满分14分） (Ⅰ) 解：,, .                                 ………………3分 （Ⅱ）（ⅰ）解：因为（）， 所以，对任意的有， 即数列各项的值重复出现，周期为.                     ………………5分 又数列的前6项分别为，且这六个数的和为7. 设数列的前项和为，则， 当时， ，       当时，     ，                     ………………7分 所以，当为偶数时，；当为奇数时，. ………………8分 （ⅱ）证明：由（ⅰ）知：对任意的有， 又数列的前6项分别为，且这六个数的和为. 设，（其中为常数且）， 所以 .  所以，数列均为以为公差的等差数列.          ………………10分 因为时，，时，，  ………………12分 所以{}为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次. 所以数列中任意一项的值最多在此数列中出现6次， 即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次.               ………………14分

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