题目

 （本小题满分14分）如图，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O（O为坐标原点），且.   （1）求椭圆的标准方程；   （2）如果椭圆上的两点P、Q，使得直线CP、CQ 与轴围成底边在轴上的等腰三角形， 是否总存在实数使得？ 请给出证明. 答案：（1）设椭圆的方程为， 因为椭圆的长轴长为4，所以，                                                              （1分） 因为点A是椭圆的右顶点，所以， 因为， 所以是等腰直角三角形，从而知C点的坐标为（1,1），              （3分） 代入椭圆的方程得，                                 所以椭圆的方程为.                                          （5分） （2）依题意可设直线， 与椭圆的方程联立，消去y得 ，                                                     （6分） 则， 从而且，                                                                                    （7分） 设点，而，由根与系数的关系知， ，                                                         （8分） 将P点的坐标代入直线，得，                （9分） 因为直线CP、CQ的斜率互为相反数，而且， 故设点， 同理可知，                                            （11分） 所以，                                                                       （12分） 因为椭圆是中心对称图形，所以， 故，即总存在实数，使.             （14分）

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