题目

已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF． （1）求证：BE=DF； （2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM，FM，判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论． 答案：【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 【专题】几何综合题． 【分析】（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证△ABE≌△ADF； （2）由于四边形ABCD是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45°，BC=CD；联立（1）的结论，可证得EC=CF，根据等腰三角形三线合一的性质可证得OC（即AM）垂直平分EF；已知OA=OM，则EF、AM互相平分，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定四边形AEMF是菱形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠B=∠D=90°， 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ∵， ∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL） ∴BE=DF；   （2）解：四边形AEMF是菱形，理由为： 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的对角线平分一组对角）， BC=DC（正方形四条边相等）， ∵BE=DF（已证）， ∴BC﹣BE=DC﹣DF（等式的性质）， 即CE=CF， 在△COE和△COF中， ， ∴△COE≌△COF（SAS）， ∴OE=OF，又OM=OA， ∴四边形AEMF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， ∵AE=AF， ∴平行四边形AEMF是菱形． 【点评】本题主要考查对正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．

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