题目
20.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC. (Ⅰ)求证：D1C⊥AC1;(Ⅱ)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由.
答案：解：(Ⅰ)证明：在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中.连结C1D，∵DC=DD1.∵四边形DCC1D1是正方形，∴DC1⊥D1C，又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1=D，∴AD⊥平面DCC1D1，D1C平面DCC1D1，∴AD⊥D1C，∵AD，DC1平面ADC1，且AD∩DC1=D∴D1C⊥平面ADC1，又AC1平面ADC1，∴D1C⊥AC1.(Ⅱ)连结AD1，连结AE，设AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，连结MN.∵平面AD1E∩平面A1BD=MN，要使D1E∥平面A1BD，须使MN∥D1E.又M是AD1的中点，∴N是AE的中点.又易知△ABN≌△EDN.∴AB=DE.即E是DC的中点.综上所述，当E是DC的中点对，可使D1E∥平面A1BD.
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